零极点增益模型实际上是传递函数的另一种表现形式，其原理是分别对源系统传递函数的分子、分母进行因式分解处理，以获得系统零点和几点的表示形式。 式中，k为系统增益；zi(i = 1,2,3,...,m)为分子多项式的根，称为系统的零点；pj(j = 1,2,...,n)是分母多项式的根，称为系统的极点。传递函数的分母多项式就是它的特征多项式，它等于零的方程就是传递函数的特征方程，特征方程的根也就是传递函数的极点。传递函数的极点决定了所描述系统的自由运动状态；零点影响系统各模态在系统响应中的比重。零点增益模型的命令格式如下：ZPG = zpk(z, p, k)其中ZPG是建立的零极点增益模型；z、p、k分别是系统的零点向量、极点向量和增益。例：利用Baltamulink建立系统G(s) = 18(s + 2) / (s + 0.4)(s + 15)(s + 25)的零点增益模型，进行系统仿真。将上面零点增益模型进行转换得到模型的传递函数如下：G(s) = 18(s + 2)/(s^3 + 40.4s^2 + 391s + 150)根据该传递函数模型，在北太真元建立模型如下图所示： 设置仿真参数：仿真时长：20s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示：
力——质量系统，要拉动一个箱子（拉力f=1N），箱子质量为M（1kg），箱子与地面的摩擦力为[(b=0.4N.m/s)]，其大小与车子的速度成正比。如下图所示： 其运动方程式为：F - bx’ = Mx’’拉力作用时间为2s。在北太真元建立模型如下图所示： 设置仿真参数：设置stepInputOne模块的阶跃时间为0，表示摩擦力作用时间；设置stepInputTwo模块的阶跃时间为2，表示拉力作用时间；设置gainTwo模块的增益值为0.4表示摩擦力；仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示： 因为有摩擦力存在，箱子最终会停止前进。
求解二阶微分方程：x’’(t) + 0.4x’(t) + 0.9x(t) = 0.7u(t) 的解，其中u(t)是脉冲信号。 在北太真元建立模型如下图所示： 设置仿真参数：脉冲信号u(t)为方波信号模块，参数振幅 = 1；周期 = 2.5；脉冲宽度 = 50；相位 = 0；仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示：
已知二自由度质量-弹簧-阻尼串联系统模型如下图所示： 这个系统由两个质量块（小车）和三组弹簧阻尼器组成，假设地面是光滑的，这样系统中没有摩擦作用。 u1(t) 和 u2(t) 分别是两个质量块所受的外力， x1(t) 和 x2(t) 分别是两个质量块的位移。 m1,2、k1,2,3 和 b1,2,3 分别对应图中的质量、弹簧刚度和阻尼系数。是对于整个系统而言，输入两个外力，输出两个位移，因此这是一个多输入多输出系统。两个小车都只能沿横向左右运动，因此为二自由度系统。根据牛顿第二定律，物体所受合力等于物体的惯性力，而惯性力是物体质量与加速度的乘积。可以理解为物体受力后产生加速度，而有加速度存在就会产生运动趋势，造成物体运动。对两个质量块分别进行受力分析： 首先需定义系统的状态变量，在这种情况下一般用物体的位移和速度作为状态变量。设状态向量 Z分别对应质量块1的位移和速度、质量块2的质量和速度: 根据上面对模型的数学推导，当将各状态向量 z 对时间求导（微分），可以将系统整理为各状态量的一阶微分方程组： 因为这是一个线性系统，因此系统的状态可以表示为矩阵形式： 式中，A 为系统状态矩阵；B 为输入矩阵；u 为输入（控制）向量： 有了系统的状态空间方程，接下来考虑系统的输出，也就是我们希望得到的量。我们假设对两个质量块的位移感兴趣，即 z1 和 z3 ，那么就将它两个状态作为系统的输出，则输出方程的矩阵形式为：y = Cz;式中，y 为输出向量；C 为输出矩阵： 以上，使用状态空间模型对系统完成描述。令，质量：m = 1kg；弹簧刚度： k = 1N/m；阻尼系数：b = 1N.s/m。则，状态空间方程系数如下：A = [0 1 0 0;-2 -2 1 1;0 0 0 1;1 1 -2 -2];B = [0 0;1 0;0 0;0 1];C = [1 0 0 0;0 0 1 0];D = [0 0;0 0]; 在北太真元建立模型如下图所示： 设置仿真参数：两个质量块所受的外力u1是常量模块 = 2 N； u2是阶跃型号=1N。仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示：
已知质量块质量 m = 1kg，阻尼 b = 3 N.s/m，弹簧系数 k = 90 N/m，且物块的初始位移 x(0) = 0.04m，其初始速度为x’(0) = 0.01 m/s。创建该系统的北太真元模型，并运行仿真。弹簧-质量-阻尼系统如下图所示： 建立理论数学模型。对于无外力的系统，根据牛顿定理可以得到：mx’’ + bx’ + kx = 0代入数值并整理得：x’’ = -3x’ - 90x在北太真元建立模型如下图所示： 设置仿真参数：仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示：
1 线性插值线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式，其在插值节点上的插值误差为零。线性插值相比其他插值方式，如抛物线插值，具有简单、方便的特点。线性插值的几何意义即为概述图中利用过A点和B点的直线来近似表示原函数。线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。1.2 基础知识已知函数在区间上个互异点上的函数值，若存在一简单函数，使 并要求误差 的绝对值在整个区间上比较小。这样的问题称为插值问题。其中：：插值节点：被插值函数：插值函数：插值区间如果在插值区间内部用代替则称为内插；在插值区间以外，用代替则称为外插。1.3 简介线性插值是一种较为简单的插值方法，其插值函数为一次多项式。线性插值，在各插值节点上插值的误差为0。设函数在两点，上的值分别为，，求多项式 使满足 由解析几何可知 称为在处的一阶均差，记以。于是，得 如果按照整理，则 以上插值多项式为一次多项式，这种插值称为线性插值。1.4 几何意义线性插值的几何意义如图1所示，即为利用过点和的直线来近似原函数。 1.5 应用1）线性插值在一定允许误差下，可以近似代替原来函数；2）在查询各种数值表时，可通过线性插值来得到表中没有的数值。2一维线性插值仿真实例首先，在Baltamulink中，添加输出正弦波模块、一维插值模块、信号合并模块、输出模块，建立一维插值仿真模型，每个模块参数都设置为默认值；模型如下图所示； 设置仿真参数：仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示： 绿色代表原正弦波数据；橙色表示一维插值后的正弦波数据。
基于Baltamulink的衰减曲线法整定参数使用4:1衰减曲线法设计下列被控传递函数的PI控制器，分别计算P控制、PI控制的参数值，并绘制控制前后系统的单位阶跃响应曲线。4:1衰减法控制参数计算公式如下表所示：4:1衰减法控制被控传递函数方程如下：Gp(s) =1 / 100^3 + 80^s + 17s + -1;调节参数时，比例系数由小变大，并增加扰动观察响应过程，知道响应曲线峰值衰减比为4:1，记录此时的比例系数Kp为Ks，两个峰值之间的时间周期为周期Ts。假设：响应曲线峰值衰减比为4:1时的比例系数 Ks= 4.74; 两个峰值之间的时间周期 Ts = 21.9967；则，按照上面4:1衰减法控制表中的计算公式可得：P控制：比例系数 Kp = Ks = 4.74；PI控制：比例系数 Kp = Ks/1.2 = 3.95； 积分时间常数 Ti = 0.5 * Ts = 10.9984; 积分系数 Ki = Kp / Ti = 3.95 / 10.9984 = 0.3591;P（比例）控制首先，把控制器设置成纯比例控制，即令积分系数Ki和微分系数Kd为零，在北太真元建立模型，形成比例控制系统，结构如下图所示； 设置参数：仿真时长：30s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示： PI（比例积分）控制首先，在纯比例控制系统的基础上增加积分系数Ki，令微分系数Kd为零，在北太真元建立模型，形成比例控制系统，结构如下图所示； 设置参数：仿真时长：30s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示：
基于Baltamulink状态空间模型的汽车时域特性仿真问题：利用汽车横摆角速度传递函数和质心侧偏角传递函数，对汽车时域响应进行仿真，绘制汽车横摆角速度和质心偏侧角的时域特性曲线。汽车时域响应仿真所需参数见下表。 取状态向量为X = [β ωr]’，输入向量U = [δ1]，输出向量为Y = [β ωr]’，状态空间方程为： 式中，A = [(K1+K2)/mu, (aK1 - BK2)/mu²-1; (aK1-bK2)/Iz, (a²K1+b²K2)/Iz*u] 称为系统矩阵；B = [-K1/mu; -aK1/Iz] 称为控制矩阵；C = [1 0; 0 1] 称为输出矩阵；D = [0; 0] 称为传递矩阵。汽车速度分别选取20m/s、30m/s、40m/s；在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号，使前轮转角从0°转到10°，并保持不变。根据汽车状态空间模型，建立模型，绘制不同车速下的汽车横摆角速度和质心侧偏角的时域特性曲线。 首先：通过北太天元计算汽车状态空间方程的系统矩阵和控制矩阵，在北太天元依次输入下面语句；>> m=2050;Iz=5600;a=1.5;b=1.8;L=3.3;>> k1=-38900;k2=-39200;>> u= [20 30 40];>> a11 = (k1 + k2)/m./u;>> a12 = (a*k1 - b*k2 -m.*u.^2)/m./u.^2;>> a21 = (a*k1 - b*k2)/Iz;>> a22=(a^2*k1 + b^2*k2)/Iz./u;>> b11 = -k1/m./u;>> b21 = -a*k1/Iz;得到结果如下图1所示 ；图1将命令行窗口，和工作区窗口放大后如图2、图3所示；图2 图3 因为，汽车状态空间方程的系统矩阵为：A = [a11, a12; a21, a22]；控制矩阵为：B = [ b11; b21]； 所以，从图3红色框中可以得到各项系数如下：当汽车速度 s = 20 m/s 时，系统矩阵：A = [-1.90488,-0.98511;2.18036,-1.91547]; 控制矩阵：B = [0.94878; 10.4196];当汽车速度 s = 30 m/s 时，系统矩阵：A = [-1.26992,-0.993382;2.180436,-1.27698]; 控制矩阵：B = [0.63252; 10.4196];当汽车速度 s = 40 m/s 时，系统矩阵：A = [-0.952439,-0.996277;2.180436,-0.957737]; 控制矩阵：B = [0.47439; 10.4196];状态方程输出矩阵C = [1 0; 0 1]；传递矩阵D = [0; 0]。又因为，在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号，使前轮转角从0°转到10°；所以模型还需一个阶跃信号模块，阶跃时间=0；且，还需一个增益模块，增益= pi*10/180 = 0.1745。通过北太真元建立汽车状态空间模型，如下图所示： 设置参数：仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示： 上半部分代表汽车横摆角速度时域特性曲线；即： 墨绿色代表速度20m/s时的特性曲线；绿色代表速度30m/s时的特性曲线；红色代表速度40m/s时的特性曲线。 下半部分代表汽车质心侧偏角时域特性曲线；即： 紫色代表速度20m/s时的特性曲线；橙色代表速度30m/s时的特性曲线；蓝色代表速度40m/s时的特性曲线。
基于Baltamulink传递函数分析阻尼系数和固有频率对性能的影响实例：已知传递函数G(s) = ω²/ s²+ 2ζωs + ω²，分析阻尼系数和固有频率对性能的影响。（1）假设 ω = 1, ζ = 0, 0.8, 1.5;（2）假设 ζ = 1, ω = 1, 2, 3; 从（1）可得，阻尼系数传递函数的系数可以是：G(s1) = [1; 1 0 1];G(s2) = [1; 1 1.6 1];G(s3) = [1; 1 3 1]; 通过北太真元建立“阻尼系数对系统性能的影响”模型，如下图所示： 设置参数：仿真时长：20s；步长0.1s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示： 墨绿色代表阻尼系数=0时的特性曲线；淡绿色代表阻尼系数=0.8时的特性曲线；红色代表阻尼系数=1.5时的特性曲线。从结果图中可以看出，阻尼系数决定了系统的振荡幅度，阻尼系数越小，振荡幅度越大。从（2）可得，固有频率传递函数的系数可以是：G(s1) = [1; 1 0.5 1];G(s2) = [4; 1 1 4];G(s3) = [9; 1 1.5 9];通过北太真元建立“固有频率对系统性能的影响”模型，同上模型；设置参数：仿真时长：20s；步长0.1s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示： 墨绿色代表固有频率=1时的特性曲线；淡绿色代表固有频率=2时的特性曲线；紫色代表固有频率=3时的特性曲线。从结果图中可以看出，固有频率决定了系统的振荡频率，固有频率越大，系统的振荡越高，响应速度也越快。
基于Baltamulink传递函数的汽车时域特性仿真问题：利用汽车横摆角速度传递函数和质心侧偏角传递函数，对汽车时域响应进行仿真，绘制汽车横摆角速度和质心偏侧角的时域特性曲线。汽车时域响应仿真所需参数见下表。由于汽车横摆角速度传递函数（G1(s)）和质心偏侧角传递函数（G2(s)）分别为：G1(s) = ((s - a11)*b21 + a21*b11) / s²- (a11 + a22)*s + a11*a22 - a12*a21;G2(s) = ((s - a22)*b11 + a12*b21) / s²- (a11 + a22)*s + a11*a22 - a12*a21;式中，a11 = (Ka1 + Ka2) / mu; a12 = (aKa1 - bKa2 - mu²) / mu²;a21 = (aKa1 - bKa2) / Iz; a22 = (a²Ka1 + b²Ka2) / Iz*u;b11 = -Ka1 / mu; b21 = -aKa1/Iz；汽车速度分别选取10m/s、20m/s、30m/s；在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号，使前轮转角从0°转到15°，并保持不变。根据汽车横摆角速度传递函数和质心偏移角传递函数，建立模型，绘制不同车速下的汽车横摆角度和质心侧偏角的时域特性曲线。汽车横摆角度速度传递函数首先：通过北太天元计算汽车横摆角度速度传递函数分子和分母的系数，在北太天元依次输入下面语句；>> m=3018; Iz=10437; a=1.84; b=1.88; k1=-23147; k2=-38318;>> u= [10 20 30];>> a11 = (k1 + k2)/m./u;>> a12 = (a*k1 - b*k2 -m.*u^2)/m./u^2;>> a21 = (a * k1 - b * k2)/Iz;>> a22=(a^2*k1 + b^2*k2)/Iz./u;>> b11 = -k1/m./u;>> b21 = -a*k1/Iz;>> b1 = b21;>> b2 = a21*b11-a11*b21;>> b3 = -a11-a22;>> b4 = a11.*a22-a12.*a21;>> num = [b1 b2];>> den = [1,b3,b4];得到结果如下图1所示 ；将命令行窗口，和工作区窗口放大后如图2、图3所示；图1 图2 图3因为，汽车横摆角度速度传递函数的分子系数为：num = [b1, b2]; 分母系数为：den = [1, b3, b4]; 所以，从图3红色框中可以得到各项系数如下：当汽车速度 s = 10 m/s 时，分子系数：num = [4.0807 10.4748]; 分母系数：den = [1 4.0851 6.7181];当汽车速度 s = 20 m/s 时， 分子系数：num = [4.0807 5.2347]; 分母系数：den = [1 2.0425 3.7956];当汽车速度 s = 30 m/s 时， 分子系数：num = [4.0807 3.4916]; 分母系数：den = [1 1.3617 3.2544];又因为，在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号，使前轮转角从0°转到15°；所以模型还需一个阶跃信号模块，阶跃时间=0；且，还需一个增益模块，增益= pi*15/180 = 0.2618。通过北太真元建立汽车横摆角度速度传递函数模型，如下图所示：设置参数：仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4得到的仿真结果，如下图所示：紫色代表速度10m/s时响应曲线；墨绿色代表速度20m/s时响应曲线；橙色代表速度30m/s时响应曲线；质心偏侧角传递函数首先：通过北太天元计算质心偏侧角传递函数分子和分母的系数，在北太天元依次输入下面语句；>> m=3018;Iz=10437;a=1.84;b=1.88;k1=-23147;k2=-38318;>> u= [10 20 30];>> a11 = (k1 + k2)/m./u;>> a12 = (a*k1 - b*k2 -m.*u.^2)/m./u.^2;>> a21 = (a * k1 - b * k2)/Iz;>> a22=(a^2*k1 + b^2*k2)/Iz./u;>> b11 = -k1/m./u;>> b21 = -a*k1/Iz;>> b1 = b11;>> b2 = a12*b21-a22*b11;>> b3 = -a11-a22;>> b4 = a11.*a22-a12.*a21;>> num = [b1 b2];>> den = [1,b3,b4];命令行窗口如图4所示；参数计算结果如图5所示；图4 图5 因为，质心偏侧角传递函数的分子系数为：num = [b1, b2]; 分母系数为：den = [1, b3, b4]; 所以，从图5红色框中可以得到各项系数如下：当汽车速度 s = 10 m/s 时，分子系数：num = [0.766965 -2.11146]; 分母系数：den = [1 4.08507 6.71806];当汽车速度 s = 20 m/s 时， 分子系数：num = [0.383482 -3.58841]; 分母系数：den = [1 2.04254 3.7956];当汽车速度 s = 30 m/s 时， 分子系数：num = [0.255655 -3.86191]; 分母系数：den = [1 1.36169 3.2544];又因为，在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号，使前轮转角从0°转到15°；所以模型还需一个阶跃信号模块，阶跃时间=0；且，还需一个增益模块，增益= pi*15/180 = 0.2618。通过北太真元建立质心偏侧角传递函数模型 同 汽车横摆角度速度传递函数模型。设置参数：仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4 得到的仿真结果，如下图所示：浅绿色表速度10m/s时响应曲线；紫代表速度20m/s时响应曲线；墨绿色代表速度30m/s时响应曲线；
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