零极点增益模型实际上是传递函数的另一种表现形式,其原理是分别对源系统传递函数的分子、分母进行因式分解处理,以获得系统零点和几点的表示形式。 式中,k为系统增益;zi(i = 1,2,3,...,m)为分子多项式的根,称为系统的零点;pj(j = 1,2,...,n)是分母多项式的根,称为系统的极点。传递函数的分母多项式就是它的特征多项式,它等于零的方程就是传递函数的特征方程,特征方程的根也就是传递函数的极点。传递函数的极点决定了所描述系统的自由运动状态;零点影响系统各模态在系统响应中的比重。零点增益模型的命令格式如下:ZPG = zpk(z, p, k)其中ZPG是建立的零极点增益模型;z、p、k分别是系统的零点向量、极点向量和增益。例:利用Baltamulink建立系统G(s) = 18(s + 2) / (s + 0.4)(s + 15)(s + 25)的零点增益模型,进行系统仿真。将上面零点增益模型进行转换得到模型的传递函数如下:G(s) = 18(s + 2)/(s^3 + 40.4s^2 + 391s + 150)根据该传递函数模型,在北太真元建立模型如下图所示: 设置仿真参数:仿真时长:20s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示:
力——质量系统,要拉动一个箱子(拉力f=1N),箱子质量为M(1kg),箱子与地面的摩擦力为[(b=0.4N.m/s)],其大小与车子的速度成正比。如下图所示: 其运动方程式为:F - bx’ = Mx’’拉力作用时间为2s。在北太真元建立模型如下图所示: 设置仿真参数:设置stepInputOne模块的阶跃时间为0,表示摩擦力作用时间;设置stepInputTwo模块的阶跃时间为2,表示拉力作用时间;设置gainTwo模块的增益值为0.4表示摩擦力;仿真时长:10s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示: 因为有摩擦力存在,箱子最终会停止前进。
求解二阶微分方程:x’’(t) + 0.4x’(t) + 0.9x(t) = 0.7u(t) 的解,其中u(t)是脉冲信号。 在北太真元建立模型如下图所示: 设置仿真参数:脉冲信号u(t)为方波信号模块,参数振幅 = 1;周期 = 2.5;脉冲宽度 = 50;相位 = 0;仿真时长:10s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示:
已知二自由度质量-弹簧-阻尼串联系统模型如下图所示: 这个系统由两个质量块(小车)和三组弹簧阻尼器组成,假设地面是光滑的,这样系统中没有摩擦作用。 u1(t) 和 u2(t) 分别是两个质量块所受的外力, x1(t) 和 x2(t) 分别是两个质量块的位移。 m1,2、k1,2,3 和 b1,2,3 分别对应图中的质量、弹簧刚度和阻尼系数。是对于整个系统而言,输入两个外力,输出两个位移,因此这是一个多输入多输出系统。两个小车都只能沿横向左右运动,因此为二自由度系统。根据牛顿第二定律,物体所受合力等于物体的惯性力,而惯性力是物体质量与加速度的乘积。可以理解为物体受力后产生加速度,而有加速度存在就会产生运动趋势,造成物体运动。对两个质量块分别进行受力分析: 首先需定义系统的状态变量,在这种情况下一般用物体的位移和速度作为状态变量。设状态向量 Z分别对应质量块1的位移和速度、质量块2的质量和速度: 根据上面对模型的数学推导,当将各状态向量 z 对时间求导(微分),可以将系统整理为各状态量的一阶微分方程组: 因为这是一个线性系统,因此系统的状态可以表示为矩阵形式: 式中,A 为系统状态矩阵;B 为输入矩阵;u 为输入(控制)向量: 有了系统的状态空间方程,接下来考虑系统的输出,也就是我们希望得到的量。我们假设对两个质量块的位移感兴趣,即 z1 和 z3 ,那么就将它两个状态作为系统的输出,则输出方程的矩阵形式为:y = Cz;式中,y 为输出向量;C 为输出矩阵: 以上,使用状态空间模型对系统完成描述。令,质量:m = 1kg;弹簧刚度: k = 1N/m;阻尼系数:b = 1N.s/m。则,状态空间方程系数如下:A = [0 1 0 0;-2 -2 1 1;0 0 0 1;1 1 -2 -2];B = [0 0;1 0;0 0;0 1];C = [1 0 0 0;0 0 1 0];D = [0 0;0 0]; 在北太真元建立模型如下图所示: 设置仿真参数:两个质量块所受的外力u1是常量模块 = 2 N; u2是阶跃型号=1N。仿真时长:10s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示:
已知质量块质量 m = 1kg,阻尼 b = 3 N.s/m,弹簧系数 k = 90 N/m,且物块的初始位移 x(0) = 0.04m,其初始速度为x’(0) = 0.01 m/s。创建该系统的北太真元模型,并运行仿真。弹簧-质量-阻尼系统如下图所示: 建立理论数学模型。对于无外力的系统,根据牛顿定理可以得到:mx’’ + bx’ + kx = 0代入数值并整理得:x’’ = -3x’ - 90x在北太真元建立模型如下图所示: 设置仿真参数:仿真时长:10s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示:
1 线性插值线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式,其在插值节点上的插值误差为零。线性插值相比其他插值方式,如抛物线插值,具有简单、方便的特点。线性插值的几何意义即为概述图中利用过A点和B点的直线来近似表示原函数。线性插值可以用来近似代替原函数,也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。1.2 基础知识已知函数在区间上个互异点上的函数值,若存在一简单函数,使 并要求误差 的绝对值在整个区间上比较小。这样的问题称为插值问题。其中::插值节点:被插值函数:插值函数:插值区间如果在插值区间内部用代替则称为内插;在插值区间以外,用代替则称为外插。1.3 简介线性插值是一种较为简单的插值方法,其插值函数为一次多项式。线性插值,在各插值节点上插值的误差为0。设函数在两点,上的值分别为,,求多项式 使满足 由解析几何可知 称为在处的一阶均差,记以。于是,得 如果按照整理,则 以上插值多项式为一次多项式,这种插值称为线性插值。1.4 几何意义线性插值的几何意义如图1所示,即为利用过点和的直线来近似原函数。 1.5 应用1)线性插值在一定允许误差下,可以近似代替原来函数;2)在查询各种数值表时,可通过线性插值来得到表中没有的数值。2一维线性插值仿真实例首先,在Baltamulink中,添加输出正弦波模块、一维插值模块、信号合并模块、输出模块,建立一维插值仿真模型,每个模块参数都设置为默认值;模型如下图所示; 设置仿真参数:仿真时长:10s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示: 绿色代表原正弦波数据;橙色表示一维插值后的正弦波数据。
基于Baltamulink的衰减曲线法整定参数使用4:1衰减曲线法设计下列被控传递函数的PI控制器,分别计算P控制、PI控制的参数值,并绘制控制前后系统的单位阶跃响应曲线。4:1衰减法控制参数计算公式如下表所示:4:1衰减法控制被控传递函数方程如下:Gp(s) =1 / 100^3 + 80^s + 17s + -1;调节参数时,比例系数由小变大,并增加扰动观察响应过程,知道响应曲线峰值衰减比为4:1,记录此时的比例系数Kp为Ks,两个峰值之间的时间周期为周期Ts。假设:响应曲线峰值衰减比为4:1时的比例系数 Ks= 4.74; 两个峰值之间的时间周期 Ts = 21.9967;则,按照上面4:1衰减法控制表中的计算公式可得:P控制:比例系数 Kp = Ks = 4.74;PI控制:比例系数 Kp = Ks/1.2 = 3.95; 积分时间常数 Ti = 0.5 * Ts = 10.9984; 积分系数 Ki = Kp / Ti = 3.95 / 10.9984 = 0.3591;P(比例)控制首先,把控制器设置成纯比例控制,即令积分系数Ki和微分系数Kd为零,在北太真元建立模型,形成比例控制系统,结构如下图所示; 设置参数:仿真时长:30s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示: PI(比例积分)控制首先,在纯比例控制系统的基础上增加积分系数Ki,令微分系数Kd为零,在北太真元建立模型,形成比例控制系统,结构如下图所示; 设置参数:仿真时长:30s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示:
基于Baltamulink状态空间模型的汽车时域特性仿真问题:利用汽车横摆角速度传递函数和质心侧偏角传递函数,对汽车时域响应进行仿真,绘制汽车横摆角速度和质心偏侧角的时域特性曲线。汽车时域响应仿真所需参数见下表。 取状态向量为X = [β ωr]’,输入向量U = [δ1],输出向量为Y = [β ωr]’,状态空间方程为: 式中,A = [(K1+K2)/mu, (aK1 - BK2)/mu²-1; (aK1-bK2)/Iz, (a²K1+b²K2)/Iz*u] 称为系统矩阵;B = [-K1/mu; -aK1/Iz] 称为控制矩阵;C = [1 0; 0 1] 称为输出矩阵;D = [0; 0] 称为传递矩阵。汽车速度分别选取20m/s、30m/s、40m/s;在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号,使前轮转角从0°转到10°,并保持不变。根据汽车状态空间模型,建立模型,绘制不同车速下的汽车横摆角速度和质心侧偏角的时域特性曲线。 首先:通过北太天元计算汽车状态空间方程的系统矩阵和控制矩阵,在北太天元依次输入下面语句;>> m=2050;Iz=5600;a=1.5;b=1.8;L=3.3;>> k1=-38900;k2=-39200;>> u= [20 30 40];>> a11 = (k1 + k2)/m./u;>> a12 = (a*k1 - b*k2 -m.*u.^2)/m./u.^2;>> a21 = (a*k1 - b*k2)/Iz;>> a22=(a^2*k1 + b^2*k2)/Iz./u;>> b11 = -k1/m./u;>> b21 = -a*k1/Iz;得到结果如下图1所示 ;图1将命令行窗口,和工作区窗口放大后如图2、图3所示;图2 图3 因为,汽车状态空间方程的系统矩阵为:A = [a11, a12; a21, a22];控制矩阵为:B = [ b11; b21]; 所以,从图3红色框中可以得到各项系数如下:当汽车速度 s = 20 m/s 时,系统矩阵:A = [-1.90488,-0.98511;2.18036,-1.91547]; 控制矩阵:B = [0.94878; 10.4196];当汽车速度 s = 30 m/s 时,系统矩阵:A = [-1.26992,-0.993382;2.180436,-1.27698]; 控制矩阵:B = [0.63252; 10.4196];当汽车速度 s = 40 m/s 时,系统矩阵:A = [-0.952439,-0.996277;2.180436,-0.957737]; 控制矩阵:B = [0.47439; 10.4196];状态方程输出矩阵C = [1 0; 0 1];传递矩阵D = [0; 0]。又因为,在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号,使前轮转角从0°转到10°;所以模型还需一个阶跃信号模块,阶跃时间=0;且,还需一个增益模块,增益= pi*10/180 = 0.1745。通过北太真元建立汽车状态空间模型,如下图所示: 设置参数:仿真时长:10s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示: 上半部分代表汽车横摆角速度时域特性曲线;即: 墨绿色代表速度20m/s时的特性曲线;绿色代表速度30m/s时的特性曲线;红色代表速度40m/s时的特性曲线。 下半部分代表汽车质心侧偏角时域特性曲线;即: 紫色代表速度20m/s时的特性曲线;橙色代表速度30m/s时的特性曲线;蓝色代表速度40m/s时的特性曲线。
基于Baltamulink传递函数分析阻尼系数和固有频率对性能的影响实例:已知传递函数G(s) = ω²/ s²+ 2ζωs + ω²,分析阻尼系数和固有频率对性能的影响。(1)假设 ω = 1, ζ = 0, 0.8, 1.5;(2)假设 ζ = 1, ω = 1, 2, 3; 从(1)可得,阻尼系数传递函数的系数可以是:G(s1) = [1; 1 0 1];G(s2) = [1; 1 1.6 1];G(s3) = [1; 1 3 1]; 通过北太真元建立“阻尼系数对系统性能的影响”模型,如下图所示: 设置参数:仿真时长:20s;步长0.1s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示: 墨绿色代表阻尼系数=0时的特性曲线;淡绿色代表阻尼系数=0.8时的特性曲线;红色代表阻尼系数=1.5时的特性曲线。从结果图中可以看出,阻尼系数决定了系统的振荡幅度,阻尼系数越小,振荡幅度越大。从(2)可得,固有频率传递函数的系数可以是:G(s1) = [1; 1 0.5 1];G(s2) = [4; 1 1 4];G(s3) = [9; 1 1.5 9];通过北太真元建立“固有频率对系统性能的影响”模型,同上模型;设置参数:仿真时长:20s;步长0.1s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示: 墨绿色代表固有频率=1时的特性曲线;淡绿色代表固有频率=2时的特性曲线;紫色代表固有频率=3时的特性曲线。从结果图中可以看出,固有频率决定了系统的振荡频率,固有频率越大,系统的振荡越高,响应速度也越快。
基于Baltamulink传递函数的汽车时域特性仿真问题:利用汽车横摆角速度传递函数和质心侧偏角传递函数,对汽车时域响应进行仿真,绘制汽车横摆角速度和质心偏侧角的时域特性曲线。汽车时域响应仿真所需参数见下表。由于汽车横摆角速度传递函数(G1(s))和质心偏侧角传递函数(G2(s))分别为:G1(s) = ((s - a11)*b21 + a21*b11) / s²- (a11 + a22)*s + a11*a22 - a12*a21;G2(s) = ((s - a22)*b11 + a12*b21) / s²- (a11 + a22)*s + a11*a22 - a12*a21;式中,a11 = (Ka1 + Ka2) / mu; a12 = (aKa1 - bKa2 - mu²) / mu²;a21 = (aKa1 - bKa2) / Iz; a22 = (a²Ka1 + b²Ka2) / Iz*u;b11 = -Ka1 / mu; b21 = -aKa1/Iz;汽车速度分别选取10m/s、20m/s、30m/s;在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号,使前轮转角从0°转到15°,并保持不变。根据汽车横摆角速度传递函数和质心偏移角传递函数,建立模型,绘制不同车速下的汽车横摆角度和质心侧偏角的时域特性曲线。汽车横摆角度速度传递函数首先:通过北太天元计算汽车横摆角度速度传递函数分子和分母的系数,在北太天元依次输入下面语句;>> m=3018; Iz=10437; a=1.84; b=1.88; k1=-23147; k2=-38318;>> u= [10 20 30];>> a11 = (k1 + k2)/m./u;>> a12 = (a*k1 - b*k2 -m.*u^2)/m./u^2;>> a21 = (a * k1 - b * k2)/Iz;>> a22=(a^2*k1 + b^2*k2)/Iz./u;>> b11 = -k1/m./u;>> b21 = -a*k1/Iz;>> b1 = b21;>> b2 = a21*b11-a11*b21;>> b3 = -a11-a22;>> b4 = a11.*a22-a12.*a21;>> num = [b1 b2];>> den = [1,b3,b4];得到结果如下图1所示 ;将命令行窗口,和工作区窗口放大后如图2、图3所示;图1 图2 图3因为,汽车横摆角度速度传递函数的分子系数为:num = [b1, b2]; 分母系数为:den = [1, b3, b4]; 所以,从图3红色框中可以得到各项系数如下:当汽车速度 s = 10 m/s 时,分子系数:num = [4.0807 10.4748]; 分母系数:den = [1 4.0851 6.7181];当汽车速度 s = 20 m/s 时, 分子系数:num = [4.0807 5.2347]; 分母系数:den = [1 2.0425 3.7956];当汽车速度 s = 30 m/s 时, 分子系数:num = [4.0807 3.4916]; 分母系数:den = [1 1.3617 3.2544];又因为,在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号,使前轮转角从0°转到15°;所以模型还需一个阶跃信号模块,阶跃时间=0;且,还需一个增益模块,增益= pi*15/180 = 0.2618。通过北太真元建立汽车横摆角度速度传递函数模型,如下图所示:设置参数:仿真时长:10s;步长0.01s;求解器:ode4得到的仿真结果,如下图所示:紫色代表速度10m/s时响应曲线;墨绿色代表速度20m/s时响应曲线;橙色代表速度30m/s时响应曲线;质心偏侧角传递函数首先:通过北太天元计算质心偏侧角传递函数分子和分母的系数,在北太天元依次输入下面语句;>> m=3018;Iz=10437;a=1.84;b=1.88;k1=-23147;k2=-38318;>> u= [10 20 30];>> a11 = (k1 + k2)/m./u;>> a12 = (a*k1 - b*k2 -m.*u.^2)/m./u.^2;>> a21 = (a * k1 - b * k2)/Iz;>> a22=(a^2*k1 + b^2*k2)/Iz./u;>> b11 = -k1/m./u;>> b21 = -a*k1/Iz;>> b1 = b11;>> b2 = a12*b21-a22*b11;>> b3 = -a11-a22;>> b4 = a11.*a22-a12.*a21;>> num = [b1 b2];>> den = [1,b3,b4];命令行窗口如图4所示;参数计算结果如图5所示;图4 图5 因为,质心偏侧角传递函数的分子系数为:num = [b1, b2]; 分母系数为:den = [1, b3, b4]; 所以,从图5红色框中可以得到各项系数如下:当汽车速度 s = 10 m/s 时,分子系数:num = [0.766965 -2.11146]; 分母系数:den = [1 4.08507 6.71806];当汽车速度 s = 20 m/s 时, 分子系数:num = [0.383482 -3.58841]; 分母系数:den = [1 2.04254 3.7956];当汽车速度 s = 30 m/s 时, 分子系数:num = [0.255655 -3.86191]; 分母系数:den = [1 1.36169 3.2544];又因为,在仿真时间0s时给前轮一个阶跃信号,使前轮转角从0°转到15°;所以模型还需一个阶跃信号模块,阶跃时间=0;且,还需一个增益模块,增益= pi*15/180 = 0.2618。通过北太真元建立质心偏侧角传递函数模型 同 汽车横摆角度速度传递函数模型。设置参数:仿真时长:10s;步长0.01s;求解器:ode4 得到的仿真结果,如下图所示:浅绿色表速度10m/s时响应曲线;紫代表速度20m/s时响应曲线;墨绿色代表速度30m/s时响应曲线;