1 线性插值

线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式，其在插值节点上的插值误差为零。

线性插值相比其他插值方式，如抛物线插值，具有简单、方便的特点。

线性插值的几何意义即为概述图中利用过A点和B点的直线来近似表示原函数。

线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。

1.2 基础知识

已知函数在区间上个互异点上的函数值，若存在一简单函数，使

并要求误差

的绝对值在整个区间上比较小。这样的问题称为插值问题。

其中：

：插值节点

：被插值函数

：插值函数

：插值区间

如果在插值区间内部用代替则称为内插；在插值区间以外，用代替则称为外插。

1.3 简介

线性插值是一种较为简单的插值方法，其插值函数为一次多项式。线性插值，在各插值节点上插值的误差为0。

设函数在两点，上的值分别为，，求多项式

使满足

由解析几何可知

称为在处的一阶均差，记以。于是，得

如果按照整理，则

以上插值多项式为一次多项式，这种插值称为线性插值。

1.4 几何意义

线性插值的几何意义如图1所示，即为利用过点和的直线来近似原函数。

1.5 应用

1）线性插值在一定允许误差下，可以近似代替原来函数；

2）在查询各种数值表时，可通过线性插值来得到表中没有的数值。

2一维线性插值仿真实例

首先，在Baltamulink中，添加输出正弦波模块、一维插值模块、信号合并模块、输出模块，建立一维插值仿真模型，每个模块参数都设置为默认值；模型如下图所示；

设置仿真参数：

仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4

得到的仿真结果，如下图所示：

绿色代表原正弦波数据；

橙色表示一维插值后的正弦波数据。

      已知质量块质量 m = 1kg，阻尼 b = 3 N.s/m，弹簧系数 k = 90 N/m，且物块的初始位移 x(0) = 0.04m，其初始速度为x’(0) = 0.01 m/s。创建该系统的北太真元模型，并运行仿真。弹簧-质量-阻尼系统如下图所示：

建立理论数学模型。对于无外力的系统，根据牛顿定理可以得到：

mx’’ + bx’ + kx = 0

代入数值并整理得：

x’’ = -3x’ - 90x

在北太真元建立模型如下图所示：

设置仿真参数：

仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4

得到的仿真结果，如下图所示：

      已知二自由度质量-弹簧-阻尼串联系统模型如下图所示：

      这个系统由两个质量块（小车）和三组弹簧阻尼器组成，假设地面是光滑的，这样系统中没有摩擦作用。 u1(t) 和 u2(t) 分别是两个质量块所受的外力， x1(t) 和 x2(t) 分别是两个质量块的位移。 m1,2、k1,2,3 和 b1,2,3 分别对应图中的质量、弹簧刚度和阻尼系数。是对于整个系统而言，输入两个外力，输出两个位移，因此这是一个多输入多输出系统。两个小车都只能沿横向左右运动，因此为二自由度系统。

根据牛顿第二定律，物体所受合力等于物体的惯性力，而惯性力是物体质量与加速度的乘积。可以理解为物体受力后产生加速度，而有加速度存在就会产生运动趋势，造成物体运动。

对两个质量块分别进行受力分析：

首先需定义系统的状态变量，在这种情况下一般用物体的位移和速度作为状态变量。设状态向量 Z分别对应质量块1的位移和速度、质量块2的质量和速度:

根据上面对模型的数学推导，当将各状态向量 z 对时间求导（微分），可以将系统整理为各状态量的一阶微分方程组：

因为这是一个线性系统，因此系统的状态可以表示为矩阵形式：

式中，A 为系统状态矩阵；B 为输入矩阵；u 为输入（控制）向量：

      有了系统的状态空间方程，接下来考虑系统的输出，也就是我们希望得到的量。我们假设对两个质量块的位移感兴趣，即 z1 和 z3 ，那么就将它两个状态作为系统的输出，则输出方程的矩阵形式为：y = Cz;

式中，y 为输出向量；C 为输出矩阵：

以上，使用状态空间模型对系统完成描述。

令，质量：m = 1kg；弹簧刚度： k = 1N/m；阻尼系数：b = 1N.s/m。

则，状态空间方程系数如下：

A = [0 1 0 0;-2 -2 1 1;0 0 0 1;1 1 -2 -2];

B = [0 0;1 0;0 0;0 1];

C = [1 0 0 0;0 0 1 0];

D = [0 0;0 0];

在北太真元建立模型如下图所示：

设置仿真参数：

两个质量块所受的外力u1是常量模块 = 2 N； u2是阶跃型号=1N。

仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4

得到的仿真结果，如下图所示：

求解二阶微分方程：x’’(t) + 0.4x’(t) + 0.9x(t) = 0.7u(t) 的解，其中u(t)是脉冲信号。

在北太真元建立模型如下图所示：

设置仿真参数：

脉冲信号u(t)为方波信号模块，参数振幅 = 1；周期 = 2.5；脉冲宽度 = 50；相位 = 0；

仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4

得到的仿真结果，如下图所示：

力——质量系统，要拉动一个箱子（拉力f=1N），箱子质量为M（1kg），箱子与地面的摩擦力为[(b=0.4N.m/s)]，其大小与车子的速度成正比。如下图所示：

其运动方程式为：

F - bx’ = Mx’’

拉力作用时间为2s。

在北太真元建立模型如下图所示：

设置仿真参数：

设置stepInputOne模块的阶跃时间为0，表示摩擦力作用时间；

设置stepInputTwo模块的阶跃时间为2，表示拉力作用时间；

设置gainTwo模块的增益值为0.4表示摩擦力；

仿真时长：10s；步长0.01s；求解器：ode4

得到的仿真结果，如下图所示：

因为有摩擦力存在，箱子最终会停止前进。

零极点增益模型实际上是传递函数的另一种表现形式，其原理是分别对源系统传递函数的分子、分母进行因式分解处理，以获得系统零点和几点的表示形式。

式中，k为系统增益；zi(i = 1,2,3,...,m)为分子多项式的根，称为系统的零点；pj(j = 1,2,...,n)是分母多项式的根，称为系统的极点。

传递函数的分母多项式就是它的特征多项式，它等于零的方程就是传递函数的特征方程，特征方程的根也就是传递函数的极点。传递函数的极点决定了所描述系统的自由运动状态；零点影响系统各模态在系统响应中的比重。

零点增益模型的命令格式如下：

ZPG = zpk(z, p, k)

其中ZPG是建立的零极点增益模型；z、p、k分别是系统的零点向量、极点向量和增益。

例：利用Baltamulink建立系统

G(s) = 18(s + 2) / (s + 0.4)(s + 15)(s + 25)

的零点增益模型，进行系统仿真。

将上面零点增益模型进行转换得到模型的传递函数如下：

G(s) = 18(s + 2)/(s^3 + 40.4s^2 + 391s + 150)

根据该传递函数模型，在北太真元建立模型如下图所示：

设置仿真参数：

仿真时长：20s；步长0.01s；求解器：ode4

得到的仿真结果，如下图所示：