北太天元：中学生数学建模的得力助手

% 模型参数

channel = 3;             % 通道数

per_channel_per_min = 6; % 每条通道每分钟通过人数

rate = channel * per_channel_per_min;

% 时间变量

x = 0:30;

% 现场总人数 y(x)

y = -x.^2 + 60*x + 100;

% 已入场人数

entered = rate * x;

% 排队人数

queue = y - entered;

% 可视化

figure;

plot(x, queue, 'b', 'LineWidth', 2);

xlabel('时间(分钟)');

ylabel('排队人数');

title('排队人数与安检时间的关系');

grid on;

% 寻找最大值

[max_queue, max_index] = max(queue);

max_time = x(max_index);

fprintf('最大排队人数为 %d，出现在第 %d 分钟。\n', max_queue, max_time);

% 时间定义

x = 0:30;

% 初始化结果

min_valid_channels = -1;

% 初始化图像

figure;

hold on;

% 用于绘图

colors = lines(9);

plot_handles = gobjects(1,9); % 保存每条曲线的句柄

legend_labels = strings(1,9); % 图例文字

% 添加 10 分钟参考线

xline(10, '--k', '10分钟', ...

'LabelHorizontalAlignment', 'left', ...

'LabelVerticalAlignment', 'bottom', ...

'LineWidth', 1.5);

% 遍历 1~9 条通道

for n = 1:9

% 排队人数函数

q = -x.^2 + (60 - 6*n)*x + 100;

% 顶点位置

x_star = (60 - 6*n)/2;

% 判断是否满足条件

if min_valid_channels == -1 && 10 >= x_star

min_valid_channels = n;

end

% 是否为最小满足通道数

if n == min_valid_channels

% 高亮显示

plot_handles(n) = plot(x, q, 'r-', 'LineWidth', 3);

legend_labels(n) = sprintf('%d条通道（最小满足）', n);

else

plot_handles(n) = plot(x, q, 'Color', colors(n,:), 'LineWidth', 1.5);

legend_labels(n) = sprintf('%d条通道', n);

end

end

% 图像格式

xlabel('时间(分钟)');

ylabel('排队人数');

title('不同通道数下的排队人数变化');

grid on;

% 正确设置 legend

legend(plot_handles, legend_labels, 'Location', 'northwest');

% 输出文字结果

if min_valid_channels == -1

fprintf('在最多开通 9 条通道的条件下，无法满足“10 分钟内排队人数减少”的要求。\n');

else

fprintf('最少需要开通 %d 条通道，才能在10分钟内使排队人数减少。\n', min_valid_channels);

end

% 定义整数规划问题

f = 1; % 目标函数系数：最小化 n

A = [-6]; % 不等式约束系数矩阵：-6n

b = [-40]; % 不等式约束右侧：-40

lb = 1; % n 的下界

ub = 9; % n 的上界

intcon = 1; % 指定 n 为整数

% 求解整数规划

[x, fval] = intlinprog(f, intcon, A, b, [], [], lb, ub);

% 输出结果

fprintf('最少需要开通 %d 条通道，才能在10分钟内使排队人数减少（整数规划求解）。\n', x);

% 模型参数

total_time = 1800; % 总时间：30分钟 = 1800秒

dt = 1; % 每秒更新

queue_limit = 500; % 队列容量限制

lambda = 1.5; % 泊松到达率（人/秒）

mu = 1/10; % 平均安检服务率（每秒检1人/10秒）

% 初始化状态

queue = []; % 安检等待队列（存放等待时间）

in_system = 0; % 当前队列人数

total_entered = 0; % 已入场观众数

overflow = 0; % 溢出人数

% 每条通道每秒最多服务1人，每人约用10秒

% 服务时间服从正态分布，记录每条通道的“忙碌时间”

num_channels = 3; % 初始通道数

channels = zeros(1, 9); % 最多9条通道

% 数据记录

queue_record = zeros(1, total_time);

entered_record = zeros(1, total_time);

for t = 1:total_time

% 动态控制通道数：10分钟后增加到6条

if t == 600

num_channels = 6;

end

% 到达过程：泊松分布

arrivals = poissrnd(lambda);

% 加入队列

for i = 1:arrivals

if length(queue) < queue_limit

queue(end+1) = normrnd(10, 2); % 每人需要的安检时间（秒）

else

overflow = overflow + 1;

end

end

% 服务处理

for i = 1:num_channels

if channels(i) <= 0 && ~isempty(queue)

service_time = max(1, round(queue(1))); % 服务时长，不小于1

channels(i) = service_time;

queue(1) = []; % 移除该观众

total_entered = total_entered + 1;

end

end

% 更新各通道服务倒计时

channels = channels - 1;

% 记录数据

queue_record(t) = length(queue);

entered_record(t) = total_entered;

end

% 可视化

time = (1:total_time)/60; % 转为分钟

figure;

subplot(2,1,1);

plot(time, queue_record, 'LineWidth', 1.5);

xlabel('时间（分钟）'); ylabel('排队人数');

title('排队人数随时间变化');

subplot(2,1,2);

plot(time, entered_record, 'LineWidth', 1.5);

xlabel('时间（分钟）'); ylabel('累计入场人数');

title('入场人数随时间变化');

fprintf('30分钟内入场总人数：%d 人\n', total_entered);

fprintf('排队溢出人数：%d 人\n', overflow);