从一处直角凹口，到一颗五角星；从分叉的曲边，到一幅人物轮廓。
形状可以一眼认出，内部的场却需要方程来回答：边界如何影响分布？狭窄连接处怎样进入网格？多个内孔怎样参与求解？把视线移向空间，一根受力的悬臂实体，又会给位移与应力带来新的问题。
这些问题，有着共同的计算起点：把几何、材料、方程与边界条件，放进同一个可以求解、可以分析的模型。
面向这样的建模与计算需求，北京大学李若教授团队与河南大学邹广安教授团队联合研发了北太天元偏微分方程工具箱。随着持续升级，工具箱已将二维中文交互建模、通用 PDE 求解、三维命令计算和物理量后处理贯通起来。
使用者既可以从一张图形开始，也可以用脚本建立模型、改变参数、提取结果，让纸面上的数学表达进入可重复的计算过程。
区域的形状，是方程的一部分。一个直角凹口、一组交替的尖角、一段分叉的曲边，甚至一幅带有多个内孔的人物轮廓，都可以成为计算的起点。
下面四类区域采用同一类问题：区域内部 −Δu = 1，全部边界 u = 0。让方程保持一致，便能更清楚地看到：几何改变之后，场的空间分布怎样随之改变。
L 型区域：先看清一个凹角。
从方形中去掉一角，边界就多了一处转折。三角网格贴合区域轮廓，将凹角纳入离散模型；云图与等值线则呈现两条“臂”与连接处之间的连续变化。从几何轮廓到网格，再到解的分布，一个经典区域串起了有限元计算的基本环节。
L 型区域：8,313 个节点、4,060 个二次三角形。颜色表示标量解 u，等值线帮助观察场的空间变化。
五角星：让每一个尖角进入计算。
五个凸角与五个凹角交替出现，网格需要贴合每一处转折，同时覆盖中心与各个尖角之间的连接区域。与 L 型区域相比，五角星把更多局部几何特征组织在同一个模型中，解的分布也随之改变。
五角星区域：6,205 个节点、2,992 个二次三角形。几何、网格与场分布可以并排对照。
计算区域还可以延伸到分支曲边和多孔轮廓。分叉、收缩处与圆滑转折改变了区域的连接方式；人物轮廓中的眼、鼻、嘴则形成内孔，与外边界共同参与边界条件的设置。网格覆盖有效区域，求解结果也保留这些几何特征。
在北太天元绘图窗口中，四类区域的结果可以直观呈现。从 L 型的凹角、五角星的尖角，到曲边分支与人物内孔，既能观察整体分布，也能比较局部形状对解的影响。
四类区域的标量场分布，各图的数值范围见相应色标。
北太天元 PDE 工具箱支持网格生成、网格细化与有限元求解，将区域离散与方程计算衔接起来。几何可以通过交互绘制建立，已有网格也有进入计算的入口，让课堂中的典型区域与项目中的复杂区域都能成为建模对象。
几何确定了“在哪里计算”，方程与边界条件则决定了“计算什么”。
通用 PDE 求解覆盖椭圆型、抛物型、双曲型与特征值问题等：既能研究稳态分布，也能计算随时间变化的扩散和波动，还能提取特征值与模态。通过通用标量与方程组入口，使用者可以设置系数、初值与边界条件，表达自己的数学模型。
二维图形界面提供多种应用模式，将数学表达与常见物理问题连接起来：
| 应用模式 | 面向的问题与结果 |
|---|---|
| 通用标量、通用方程组 | 自定义 PDE、单分量或多分量场 |
| 结构力学：平面应力、平面应变 | 位移分量与相应结构结果 |
| 静电、静磁 | 电势、二维磁矢势及其空间分布 |
| 交流电力电磁、直流导电 | 复数场或导电问题中的电势等结果 |
| 传热、扩散 | 稳态或随时间变化的温度、浓度 |
| ... | ... |
不同模式对应不同的物理过程。例如，传热与扩散可以描述稳态分布或随时间变化的过程；静电与静磁则用于相应的稳态场分析。选择合适的模式，便能沿着几何、边界、网格、求解和绘图的流程展开计算。
从温度与应力，到电势与磁矢势，不同模式将方程的解转化为可观察的物理场。
在命令计算中，系数还可以用矩阵、张量及函数回调表达，用于组织方程组、各向异性和相应的稳态非线性问题等。Dirichlet、Neumann、Robin 等边界条件，则分别描述边界取值、通量约束及与外界的交换关系。
从课堂上的典型方程，到需要自定义系数与边界的应用模型，工具箱提供了可以逐步深入的计算入口。
一个区域怎样在软件中变成可以求解的模型？以 L 型区域为例，沿着二维中文界面，可以完整走过建模、设置条件、生成网格、求解与绘图的过程。
第一步：绘制多边形，查看区域与边界。
在“绘制 > 多边形”中依次确定六个顶点，形成 L 型区域。进入“边界 > 边界模式”，可以查看边界及其编号，为施加条件做好准备。
L 型区域与边界编号：先明确计算范围，再为不同边界设置条件。
第二步：设置方程系数与边界条件。
在“方程 > 方程设置”中选择椭圆型，填写 c = 1、a = 0、f = 1，对应 −Δu = 1。在边界模式下全选边界，打开“边界 > 设置边界条件”，设置 h = 1、r = 0，即全部边界取 u = 0。
方程系数描述区域内部的作用，边界条件规定边缘的约束。两者共同确定需要求解的数学问题。
上方设置方程系数，下方设置选中边界的条件。
第三步：生成网格，再按需要细化。
通过“网格 > 参数设置”控制初始网格尺寸，再执行“生成初始网格”。需要更细致地描述区域时，可以继续执行“细化网格”，逐步增加节点与单元。
初始网格为 489 个节点、882 个三角形；两次细化后为 7,245 个节点、14,112 个三角形。
第四步：求解方程，选择需要观察的结果。
执行“求解 > 求解方程”，再通过“绘图 > 参数设置”选择云图、等值线、显示量与色表。云图呈现解的整体分布，等值线帮助辨认相同数值的位置；状态栏同步显示节点、单元与解的范围。
L 型区域求解结果：颜色表示标量解 u，等值线勾勒其空间分布。
通过绘图设置组合云图、等值线与色表，本例显示 12 条等值线。
区域、条件、网格与结果，都沿着同一建模流程展开。保存模型后，还可以继续修改条件、重新求解、比较分布，让一次二维计算成为可以反复探索的实验。
从平面走向空间，需要处理体网格、面边界和三个方向的物理量。工具箱通过三维命令接口，将建模、四面体网格、求解与结果查询连接起来。
结构：位移有多大，应力集中在哪里？
取一个尺寸为 0.25 × 0.35 × 2 m 的悬臂实体，一端固定，另一端施加横向面力。使用二次四面体单元求解后，可以同时获得位移、应变、应力和 von Mises 等效应力等结构结果。
最大节点位移约 2.566 mm，最大节点等效应力约 48.61 MPa。左图将变形放大 80 倍以便观察，色标表示实际位移；右图显示等效应力。
从位移图到应力分布，结构分析可以同时回答“变形在哪里”和“受力如何分布”。三维结构命令支持常量各向同性弹性材料，并提供瞬态实体计算，以及速度、加速度和面反力等结果接口。
传热：外表面恒温，内部仍会升温吗？
在一个六个外表面均保持 20 °C 的实体中加入体热源，稳态内部温度并不会处处等于边界温度。三个中心截面将这个差别清楚地呈现出来。
导热系数为 25 W/(m·K)，体积热源为 200,000 W/m³，最高节点温度约 120.84 °C。
热分析还可以进一步查询温度梯度、三个方向的热流分量，以及指定面的总热流率。观察温度之后，使用者可以进一步分析热量传向哪里、通过边界交换了多少。
方向与电势：同一个空间，可以承载不同方程。
左图中，三个方向的扩散系数分别为 1、4、0.4，场分布体现了方向性系数与边界约束的共同作用。右图中，将空间变化的边界电势施加到实体表面，求出内部静电势；结果还可继续用于查询电场与电通量。
三个方向的中心截面，呈现实体内部的场分布。
模态：看分布。
对于单位立方体上的 −Δu = λu，工具箱还可以计算特征值与模态。下图的首阶数值特征值约为 29.83270，与解析值 3π² ≈ 29.60881 相比较，可以将抽象的特征值问题与具体的空间模态联系起来。
单位立方体的首阶模态，采用归一化幅值显示。
已有体网格，也能继续建立模型。
对于单个长方体，可以直接生成三维体网格；对于其他形状，可通过 geometryFromMesh 导入线性或二次四面体网格，建立区域、查看面标签，再设置条件与求解。下面的倾斜实体展示了这一计算入口。
从体网格到场分布，让已有三维区域继续参与建模与计算。
从结构、传热到各向异性、电势，再到波动、模态与网格导入，三维分析让方程的解走进实体内部，也让更多物理量成为可以查询和比较的结果。
二维界面把建模与求解步骤直观地组织起来；脚本接口则让这些计算条件能够进一步写入程序，衔接参数研究、三维分析与结果查询。
需要重复执行或比较参数时，可以把几何尺寸、材料系数、载荷与求解步骤组织成脚本，修改参数后再次运行。对象式接口围绕模型组织几何、材料、边界、网格与结果；经典 PDE 接口则保留 p,e,t 等数据结构及相应计算入口，便于组织已有算例与程序。
在脚本中串联建模、条件设置、网格生成与求解，让计算步骤可以保存、修改与重复运行。
工作流也延伸到“求解之后”：在指定位置插值取值，计算梯度与通量，提取热流、结构反力等物理结果，再将这些数据放进图表或比较脚本。从建立模型，到解释结果，再到下一次修改，都有可继续操作的入口。
今天屏幕上的一张网格，连接着一段漫长的方法史。
从 Ritz 在 1908—1909 年间推进变分问题的有限参数近似，到 Courant 在 1943 年讨论三角网格上的分片线性近似，有限元方法的一条重要思想逐渐清晰：在局部建立近似，再把局部贡献组织成整体计算。
方法需要软件，软件也需要持续的研究与合作。2024 年 4 月 12 日，河南大学数学与统计学院与北京大学数学科学学院签署合作协议，约定在学科建设、人才培养、师资队伍建设和科学研究等方面开展实质性合作，共同推进数学学科建设与发展。
在两校数学学科战略合作协议框架下，2024 年 11 月 16 日，“科学与工程计算”学术研讨会暨北太天元校企研发中心揭牌仪式在河南大学举行，偏微分方程工具箱也在会上作了介绍。从两院学科合作到校企研发平台，数学研究、人才培养与科学计算软件开发有了进一步交流与协作的载体。
如今，持续升级的计算接口与案例，让这条合作路径拥有了更丰富的使用场景。对学生，它可以是一条从边界条件走到有限元结果的实践路径；对教师，它可以成为展示不同区域、方程与场分布的课堂工具；对研究与开发者，它提供脚本化建模、物理量查询和参数比较的工作基础。
面向更多教学与研究需求，工具箱将继续围绕复杂几何、网格与误差分析、物理量后处理以及文档与案例建设不断完善，让更多问题能够顺畅地从数学表达走向计算实践。
一个凹角、一段分支、一圈内边界，都可能改变方程的解。
北太天元偏微分方程工具箱，让这些改变可以被建模、被计算、被理解。
下载试用链接
北太天元 2026 版本已正式发布，偏微分方程工具箱随版本同步上线
https://www.baltamatica.com/download
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